婆罗摩笈多模型
（一）模型特征
- 等线段 \(AB=AC\)，\(AD=AE\)
- 共顶点 两个三角形共用顶点 \(A\)
- 顶角 \(90^\circ\) \(\angle BAC=\angle DAE=90^\circ\)
-
拉手
左手拉右手，右手拉左手
（两三角形"手性"相反，连线交叉——区别于同向拉手的常规手拉手模型）
（二）模型解读
\(M\) 是 \(CE\) 的中点
（三）结论 1 证明：\(AN\perp BD\)
延长 \(AM\) 到 \(F\)，使 \(MF=AM\)
第一步：\(\triangle ACM\cong\triangle FEM\)（SAS）\(\Longrightarrow AC=EF\)
\(AC\parallel EF\Longrightarrow\angle BAD=\angle FEA\)（同旁内角互补）
第二步：\(\triangle ABD\cong\triangle EFA\)（SAS）\(\Longrightarrow\angle EAF=\angle ADN\)
\(\angle DAN+\angle EAF=90^\circ\Longrightarrow AN\perp BD\)
结论 2：\(BD=2AM\)
前面已证 \(\triangle ABD\cong\triangle EFA\)
\(\therefore BD=AF\)（对应边），而 \(AF=AM+MF=2AM\)
\(BD=2AM\)
结论 3：\(S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACE}\)
\(\because\triangle ABD\cong\triangle EFA\)，\(\therefore S_{\triangle ABD}=S_{\triangle EFA}\)
连 \(ME\)：\(S_{\triangle EFA}=S_{\triangle AEM}+S_{\triangle EFM}\)
\(\because\triangle EFM\cong\triangle ACM\)，\(\therefore S_{\triangle EFM}=S_{\triangle ACM}\)
\(S_{\triangle ABD}=S_{\triangle AEM}+S_{\triangle ACM}=S_{\triangle ACE}\)
反过来：知垂直，能得中点吗？
\(AN\perp BD\)
逆命题证明：\(AN\perp BD\Longrightarrow CM=ME\)
分别过 \(C\)、\(E\) 作 \(AM\) 的垂线 \(CF\)、\(EG\)
第一步：\(\triangle CAF\cong\triangle ABN\)（AAS）
同理 \(\triangle DNA\cong\triangle AGE\)（AAS）\(\Longrightarrow NA=EG\)
第二步：\(\triangle CFM\cong\triangle EGM\)（AAS）
\(CM=ME\)，即 \(M\) 是 \(CE\) 的中点
总结：两句话，两个方向
（四）例题解析
如图，\(AB=AE\)，\(AB\perp AE\)，\(AD=AC\)，\(AD\perp AC\)， 点 \(M\) 是 \(BC\) 的中点，\(DE=4\)，则 \(AM\) 的长为 ______
分析：符合婆罗摩笈多模型特征 —— 两个等腰直角三角形共顶点 \(A\)，两手交叉
由结论 2：\(ED=2AM\Longrightarrow AM=2\)
例题 · 两种解法
知垂直，一线三垂直，得中点。